Question

【題目】已知橢圓，點，

中恰有三點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上的動點，由原點向圓引兩條切線，分別交橢圓于點，若直線的斜率存在，并記為，試問的面積是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據對稱性可知橢圓C經過P3，P4兩點，則圖象不經過點P1，故P2在橢圓上，代入點坐標可求出橢圓方程;

（2）由直線OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x與圓M相切，運用圓心到直線的距離為半徑，即可得到k1，k2為方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的兩個不等的實根，運用韋達定理和點M在橢圓上，滿足橢圓方程，化簡即可得到k1k2＝﹣，設P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面積S＝|x1x2||k1﹣k2|，代值計算即可求出.

解：（1）由于P3，P4兩點關于原點對稱，故由題設可知C經過P3，P4兩點，

∵，

則圖象不經過點P1，故P2在橢圓上，

∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，

故橢圓C的方程為.

（2）∵直線OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，與圓M相切，

由直線和圓相切的條件：d＝r，可得，

即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，

同理：直線OQ：y＝k2x與圓M相切，

可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，

即k1，k2為方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的兩個不等的實根，

可得k1k2＝，

∵點R（x0，y0）在橢圓C上，

∴，

∴k1k2＝＝，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴|OP|＝|x1|

點Q到直線OP的距離d＝，

∵|x1|＝，|x2|＝，

∴△OPQ的面積S＝|x1x2||k1﹣k2|＝ ，

＝．