Question

過正三棱錐S-ABC側棱SB與底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，則側面和底面所成角的余弦值為（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3

  3

• C．

  1

  3

  或

  6

  6

• D．

  3

  3

  或

  6

  6

Answer 1

分析：如圖，延長BO交AC于D，則D為AC中點，∠SDC為側面和底面所成角的平面角．截面△SBD分SD=BD，SB=BD 兩種情況求解．

解答：解：延長BO交AC于D，則D為AC中點．截面為△SBD．
由正棱錐的性質，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDC為側面和底面所成角的平面角．設底面邊長BC=2．易知SB≠SD．
（1）若SD=BD，則SC=BC，正三棱錐S-ABC為正四面體．BD=

BC2-CD2

=

3

，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=

SD2+BD2-SB2

2SD•BD

=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

．
（2）若SB=BD=

3

，在RT△SDA中，SD=

SA2-AD2

= 

3-1

 =

2

，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=

SD2+BD2-SB2

2SD•BD

=

3+2-3

2× 2 × 3

=

6

6

故選C．

點評：本題考查了正棱錐的性質，面面角的計算．考查空間想象能力、計算、推理論證能力．