Question

【題目】將方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數相等．若相鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數的最小值為（ ）

A.33B.56C.64D.78

Answer 1

【答案】B

【解析】

記分隔邊的條數為,首先將方格表按圖分成三個區域,, 分別染成三種顏色, 粗線上均為分隔邊，將方格表的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，行中方格出現的顏色為，列中方格出現的顏色為，三種顏色分別記為，對于一種顏色，設為含色方格的行數與列數之和，定義當行含色方格時，，否則，類似的定義，計算得到，再證明，再證明對任意均有，，最后求出分隔邊條數的最小值.

記分隔邊的條數為，首先將方格表按圖分成三個區域，如圖：

分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，此時共有56條分隔邊，則，

其次證明：，

將方格表的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，

行中方格出現的顏色為，列中方格出現的顏色為，

三種顏色分別記為，對于一種顏色，設為含色方格的行數與列數之和，

定義當行含色方格時，，否則，

類似的定義，

所以

，

由于染色的格的行有個，列有個，則色的方格一定在這行和列的交叉方格中，從而，

所以所以①，

由于在行中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，

類似地，在列中至少有條分隔邊，

則

②

③，

下面分兩種情況討論：

1、有一行或一列所有方格同色，不妨設為色，則方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363個，

故至少有行含有色的方格，于是④，

由①③④得；

2、沒有一行也沒有一列所有方格同色，對任意均有，，

從而由②可得；

綜上所述，分隔邊條數的最小值為56.

故選：B