Question

過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M、N兩點,以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點,則雙曲線的離心率等于___________.

Answer 1

2

令x=-c得y²=(-1)b²=e²b²-b²,
即是圓的半徑的平方,由條件,
e²b²-b²=(a+c)²,
即(e²-1)(c²-a²)=(c+a)²,
∴(e²-1)(c-a)=c+a.
兩邊同除以a得(e²-1)(e-1)=e+1,
∴(e-1)²=1.
∴e-1=±1.
∴e=2或0(舍去).