Question

設函數.
（1）當時，求函數的極大值；
（2）若函數的圖象與函數的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍；
（3）設，當時，求函數的單調減區間．

Answer 1

（1）5；（2）；（3）①當時，函數的單調減區間為；
②當時，函數的單調減區間為,；
③當時，函數的單調減區間為,, ．

試題分析：（1）當時，函數是一個具體的三次函數，只須求出的導函數，并令它為零求得其根；然后列出的取值范圍與的符號及單調性的變化情況表，由此表可求得函數的極大值；（2）函數的圖象與函數的圖象有三個不同的交點，等價于方程即有三個不同的實數根，也等價于方程有三個不同的實數根，從而可轉化為直線與函數有三個不同的交點，畫草圖可知必須且只需：，所以利用導數求出函數的極小值和極大值即可；（3）注意到函數的圖象與函數的圖象之間的關系：將函數在x軸上方的圖象不變，而將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方即得函數的圖象，由此可知要求函數的單調減區間，只須先求出函數的單調區間，并求出的所有零點，結合圖象就可寫出函數的單調減區間；注意分類討論．
試題解析：（1）當時，由=0，得或，    2分
列表如下：

		－1		3
	＋	0	－	0	＋
	遞增	極大	遞減	極小	遞增

 
所以當時，函數取得極大值為5.                                    4分
（2）由，得，即，             6分
令，則，
列表，得

				1
	－	0	＋	0	－
	遞減	極小值	遞增	極大值2	遞減

                                                                         8分
由題意知，方程有三個不同的根，故的取值范圍是.       10分
（3）因為，
所以當時，在R上單調遞增；
當時，的兩根為，且，
所以此時在上遞增，在上遞減，在上遞增；12分
令，得，或 （*），
當時，方程（*）無實根或有相等實根；當時，方程（*）有兩根，     13分
從而
①當時，函數的單調減區間為；                           14分
②當時，函數的單調減區間為,；     15分
③當時，函數的單調減區間為,, ．                   16分