Question

已知5瓶奶粉中只有一瓶不合格奶粉，不合格奶粉中含有三聚氫胺，需要通過化驗來確定哪瓶奶粉不合格．下面是兩種化驗方案：
方案甲：逐個化驗，直到能確定不合格奶粉為止．
方案乙：先任取3瓶，將其中取出的奶粉混合在一起化驗，若含有三聚氫胺則表明不合格奶粉在這三瓶之中，然后再逐個化驗，直到能確定不合格奶粉為止；否則在其他兩瓶中任取1只化驗．
（1）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；
（2）ξ表示方案乙所需化驗次數，求ξ的期望．

Answer 1

分析：（1）由題意得到這兩種方案的化驗次數，算出在各個次數下的概率，寫出化驗次數的分布列，求出方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率．
（2）根據上一問乙的化驗次數的分布列，利用期望計算公式得到結果．

解答：解：（1）設η表示方案甲所需化驗次數．則
P(η=i)=

1

5

(i=1，2，3)，P(η=4)=

2

5

P(ξ=2)=

3

5

，P(ξ=3)=

2

5

P(η≥ξ)=1-P(η=1)•P(ξ=2)-P(η=1)•P(ξ=3)-P(η=2)•P(ξ=3)=

18

25

．
（2）ξ表示依方案乙所需化驗次數，
∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
即Eξ=

12

5

．

點評：期望是概率論和數理統計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊．同時，它在市場預測，經濟統計，風險與決策等領域有著廣泛的應用，為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響．