Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)。
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值，試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。

Answer 1

解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2，
又點(diǎn)A（1，）在橢圓上，
因此，得b²=3，于是c²=1，
所以橢圓C的方程為，焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）。
（2）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足：，
即x₁=2x+1，y₁=2y，
因此，
即為所求的軌跡方程。
（3）類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線：上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），其中，
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由，得
k_PMk_PN=，
將代入，得k_PMk_PN=。