Question

8．已知實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$且z=2x-y的最大值為a，則$\int_0^π{a{{cos}^2}}\frac{x}{2}dx$=3π．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用平移法進行求解得a的值，結合函數的積分公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分）．
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直線y=2x-z，
由圖象可知當直線y=2x-z經過點B時，直線y=2x-z的截距最小，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（4，2）
即a=z_max=2×4-2=6，
則$\int_0^π{a{{cos}^2}}\frac{x}{2}dx$=6∫${\;}_{0}^{π}$$\frac{1}{2}$（1+cosx）dx=3（x+sinx）|${\;}_{0}^{π}$=3π，
故答案為：3π．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想以及函數的積分公式是解決此類問題的基本方法．