Question

已知兩個函數g(x)=(

1

a

-

1

4

)x(a≠0，a＞-1)，h(x)=(4a-1)

1

x

+2(x＞0)，函數g（x）與h（x）的和函數為f（x）；
（1）求函數f（x）；
（2）當a=5時，求函數f（x）在x∈[1，2]上的值域；
（3）若函數f（x）的最小值為m，且m＞2+

7

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數g（x）與h（x）的和函數為f（x），分別代入g（x）與h（x）即可求得函數f（x）；
（2）將a=5代入f（x）可得f（x）=-

1

20

x+

19

x

+2，利用函數的單調性求出函數的值域即可；
（3）根據函數f（x）結構的特點，對其相應的兩個系數分類討論，分別研究其單調性，進而求其最小值列出不等式，求解即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數g（x）與h（x）的和函數為f（x），
∴f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2．
（2）∵a=5，
∴f（x）=-

1

20

x+

19

x

+2，
∴f（x）在[1，2]上為單調減函數，
∴當x=1時，f（x）_max=

419

20

，
當x=2時，f（x）_min=

57

5

，
∴當a=5時，求函數f（x）在x∈[1，2]上的值域為[

57

5

，

419

20

]．
（3）f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2，
①當

1 a - 1 4 ＞0 4a-1＞0 a≠0，a＞-1

，即

1

4

＜a＜4時，
∵x＞0，
∴f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2≥2

( 1 a - 1 4 )x•(4a-1) 1 x

+2=2

4-a 4a •(4a-1)

+2，當且僅當(

1

a

-

1

4

)x=(4a-1)

1

x

時取等號，
∵函數f（x）的最小值為m，
∴m=2

4-a 4a •(4a-1)

+2＞2+

7

，解得，

1

2

＜a＜2，
∴實數a的取值范圍為

1

2

＜a＜2；
②

1 a - 1 4 ＜0 4a-1＜0 a≠0，a＞-1

時，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上只有最大值，沒有最小值，不符合題意；
③

1 a - 1 4 ≥0 4a-1≤0 a≠0，a＞-1

時，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上單調遞增，沒有最小值，不符合題意；
④

1 a - 1 4 ＜0 4a-1＞0 a≠0，a＞-1

時，f（x）=(

1

a

-

1

4

)x+(4a-1)

1

x

+2在x∈（0，+∞）上單調遞減，沒有最小值，不符合題意；
綜合①②③④，實數a的取值范圍為：

1

2

＜a＜2．

點評：本題考查了利用函數的單調性求函數的值域問題，以及運用分類討論的數學思想方法討論函數的單調性，涉及了基本不等式的運用，在使用基本不等式的時候要注意“一正，二定，三相等”條件的判斷．屬于中檔題．