Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，且對于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）．且在區間[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4．
（1）求f(

3

2

)的值；
（2）求出曲線y=f（x）在點(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程；
（3）若矩形ABCD的兩頂點A、B在x軸上，兩頂點C、D在函數y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，求這個矩形面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據對于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）可以求得函數周期為2，再由f（x）在區間[2，4]上，f（x）=-2（x-3）²+4上的解析式，求出函數在[0，2]上的解析式，直接代入求解；
（2）求出點(

3

2

，f(

3

2

))，對f（x）進行求導，根據導數與斜率的關系，求出直線的斜率，從而根據點斜式求出切線方程；
（3）已知矩形ABCD的兩頂點A、B在x軸上，兩頂點C、D在函數y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，可以求出直線在[0，2]上的解析式，設出A，B兩點，根據矩形面積公式代入求出S，再利用導數求其最大值；

解答：解：（1）∵任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），函數周期為2，
對設0≤x≤2，2≤x+2≤4，
可得f（x）=f（x+2）=-2（x-1）²+4，
∴f(

3

2

)=-2（

3

2

-1）²+4=

7

2

；
（2）曲線y=f（x）在點（

3

2

，-

1

2

），f′（x）=-4（x-3），可以k=f′（

3

2

）=-4（

3

2

-3）=6，
∴曲線y=f（x）在點(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程，
y-（-

1

2

）=6（x-

3

2

），化簡得，y=6x-

19

2

；
（3）矩形ABCD的兩頂點A、B在x軸上，
兩頂點C、D在函數y=f（x）（0≤x≤2）的 圖象上，
可以設C（x₂，y₂），D（x₁，y₁），x₂＞x₁，A的橫坐標為x₁，B的橫坐標為x₂，
可知f（x）在區間[0，2]上，f（x）=f（x+2）=-2（x-1）²+4，
∵C（x₂，y₂），D（x₁，y₁），
∴矩形的面積為S=（x₂-x₁）y₁=（x₂-x₁）[-2（x-1）²+4]，
∵x₁+x₂=2，可得x₂=2-x₁，0＜x₁＜1，
∴S=（x₂-x₁）[-2（x-1）²+4]=（2-x₁）[-2x₁²-2+4x₁+4]=（2x₁-2）（2x₁²-4x₁-2）=4x₁³-12x₁²+4x₁+4
∴S′=12x₁²-24x₁+4=4（3x₁²-6x₁+1）=0，
∴x₁=

6±2 6

2×3

=1±

6

3

，
當x＞1+

6

3

或x＜1-

6

3

時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
當1-

6

3

＜x＜1+

6

3

時，f′（x）＜0，f（x）為增函數，
∴f（x）在x=1-

6

3

處取得極大值也是最大值，
∴f（x）_max=f（1-

6

3

）=[2-2（1-

6

3

）][-2（1-

6

3

-1）²+4]=

2 6

3

×

8

3

=

16 6

9

，
∴這個矩形面積的最大值為：

16 6

9

；

點評：此題主要考查利用導數研究曲線上某點的切線方程以及函數周期性的利用，此題是一道中檔題，計算量比較大，考查學生的計算能力．