Question

某玩具廠計劃每天生產A、B、C三種玩具共100個．已知生產一個玩具A需5分鐘，生產一個玩具B需7分鐘，生產一個玩具C需4分鐘，而且總生產時間不超過10個小時．若每生產一個玩具A、B、C可獲得的利潤分別為5元、6元、3元．
（I）用每天生產的玩具A的個數x與玩具B的個數y表示每天的利潤T元；
（II）請你為玩具廠制定合理的生產任務分配計劃，使每天的利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

【答案】分析：（I）依題意，每天生產的玩具C的個數為100-x-y，根據題意即可得出每天的利潤；
（II）先根據題意列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設T=2x+3y+300，再利用T的幾何意義求最值，只需求出直線0=2x+3y過可行域內的點A時，從而得到T值即可．
解答：解：（I）依題意，每天生產的玩具C的個數為100-x-y，
所以每天的利潤T=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．…..（2分）
（II）約束條件為：，
整理得．…（5分）
目標函數為T=2x+3y+300．
如圖所示，做出可行域．…（8分）
初始直線l：2x+3y=0，平移初始直線經過點A時，T有最大值．
由得．
最優解為A（50，50），
此時T_max=550（元）．…（10分）
答：每天生產玩具A50個，玩具B50個，玩具C0個，這樣獲得的利潤最大，最大利潤為550元．…．（12分）
點評：在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件，②由約束條件畫出可行域，③分析目標函數Z與直線截距之間的關系，④使用平移直線法求出最優解，⑤還原到現實問題中．