Question

設函數，其中為常數。

（Ⅰ）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（Ⅱ）若函數有極值點，求的取值范圍及的極值點。

Answer 1

（Ⅰ）當時， ，函數在定義域上單調遞增．

（Ⅱ）當且僅當時有極值點;

當時，有惟一最小值點；

當時，有一個極大值點和一個極小值點

解析:

（Ⅰ）由題意知，的定義域為，    ……… 1分

   ……… 2分

∴當時， ，函數在定義域上單調遞增．      ………………3分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當時，函數無極值點．………… 4分

②時，有兩個相同的解，

但當時,，當時，

時，函數在上無極值點．           ………………5分

③當時，有兩個不同解，

時，，

而,

此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：當時，有惟一極小值點，…  8分

ii)   當時，0<<1

此時，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點；              ………………………………11分

綜上所述：

當且僅當時有極值點;

當時，有惟一最小值點；

當時，有一個極大值點和一個極小值點………12分