Question

（2013•閔行區二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當a=1，b=0時，判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當a=1，b=1時，若f(2x)=

5

4

，求x的值；
（3）若b＜0，且對任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）即可判斷當a=1，b=0時，f（x）=x|x-1|既不是奇函數也不是偶函數；
（2）依題意，解方程2^x|2^x-1|+1=

5

4

即可，為了去掉方程中的絕對值符號需對x的取值范圍分類討論；
（3）依題意，只需考慮x∈（0，1]，此時原不等式變為|x-a|＜

-b

x

即可，轉化為故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min，x∈（0，1]，通過構造函數g（x）=x+

b

x

與h（x）=x-

b

x

，利用函數的單調性
結合對參數b的范圍的討論即可求得實數a的取值范圍．

解答：[解]（1）當a=1，b=0時，f（x）=x|x-1|既不是奇函數也不是偶函數．…（2分）
∵f（-1）=-2，f（1）=0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．…（2分）
（2）當a=1，b=1時，f（x）=x|x-1|+1，
由f（2^x）=

5

4

得2^x|2^x-1|+1=

5

4

…（2分）
即

2x≥1 (2x)2-2x- 1 4 =0

或

2x＜1 (2x)2-2x+ 1 4 =0

…（2分）
解得2^x=

1+ 2

2

或2^x=

1- 2

2

（舍），或2^x=

1

2

，
所以x=log2

1+ 2

2

=log2(1+

2

)-1或x=-1．     …（2分）
（3）當x=0時，a取任意實數，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考慮x∈（0，1]，此時原不等式變為|x-a|＜

-b

x

即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

…（2分）
故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min，x∈（0，1]
又函數g（x）=x+

b

x

在（0，1]上單調遞增，所以(x+

b

x

)max=g（1）=1+b；
對于函數h（x）=x-

b

x

，x∈（0，1]
①當b＜-1時，在（0，1]上h（x）單調遞減，(x-

b

x

)min=h（1）=1-b，又1-b＞1+b，
所以，此時a的取值范圍是（1+b，1-b）． …（2分）
②當-1≤b＜0，在（0，1]上，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
當x=

-b

時，(x-

b

x

)min=2

-b

，此時要使a存在，
必須有

1+b＜2 -b -1≤b＜0

即-1≤b＜2

2

-3，此時a的取值范圍是（1+b，2

-b

）
綜上，當b＜-1時，a的取值范圍是（1+b，1-b）；
當-1≤b＜2

2

-3時，a的取值范圍是（1+b，2

-b

）；
當2

2

-3≤b＜0時，a的取值范圍是∅．     …（2分）

點評：本題考查帶絕對值的函數，著重考查方程思想與分類討論思想的綜合運用，考查構造函數與抽象思維及運算能力，屬于難題．