Question

設函數f(x)＝x²－(a－2)x－alnx.
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)若函數f(x)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數a的值；
(3)若方程f(x)＝c有兩個不相等的實數根x₁、x₂，求證：f′>0.

Answer 1

（1）單調增區間為，單調減區間為（2）3（3）見解析

(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．
當a≤0時，f′(x)>0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
所以函數f(x)的單調增區間為(0，＋∞)．
當a>0時，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .
所以函數f(x)的單調增區間為，單調減區間為.
(2)解：由(1)得，若函數f(x)有兩個零點，則a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a²＋4a－4aln <0.因為a>0，所以a＋4ln－4>0.
令h(a)＝a＋4ln－4，顯然h(a)在(0，＋∞)上為增函數，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a₀∈(2，3)，h(a₀)＝0.
當a>a₀時，h(a)>0；當0<a<a₀時，h(a)<0.所以滿足條件的最小正整數a＝3.
又當a＝3時，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a＝3時，f(x)有兩個零點．
綜上所述，滿足條件的最小正整數a的值為3.
(3)證明：因為x₁、x₂是方程f(x)＝c的兩個不等實根，由(1)知a>0.
不妨設0<x₁<x₂，則－(a－2)x₁－alnx₁＝c，－(a－2)x₂－alnx₂＝c.
兩式相減得－(a－2)x₁－alnx₁－＋(a－2)·x₂＋alnx₂＝0，
即＋2x₁－－2x₂＝ax₁＋alnx₁－ax₂－alnx₂＝a(x₁＋lnx₁－x₂－lnx₂)．
所以a＝.
因為f′＝0，當x∈時，f′(x)<0，當x∈時，f′(x)>0，
故只要證> 即可，即證明x₁＋x₂> ，
即證明－＋(x₁＋x₂)(lnx₁－lnx₂)< ＋2x₁－－2x₂，
即證明ln <.設t＝ (0<t<1)．
令g(t)＝lnt－，則g′(t)＝.
因為t>0，所以g′(t)≥0，當且僅當t＝1時，g′(t)＝0，
所以g(t)在(0，＋∞)上是增函數．
又g(1)＝0，所以當t∈(0，1)，g(t)<0總成立．所以原題得證．