Question

設(shè)復(fù)數(shù)β=x+yi（x，y∈R）與復(fù)平面上點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)．
（1）若β是關(guān)于t的一元二次方程t²-2t+m=0（m∈R）的一個(gè)虛根，且|β|=2，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)復(fù)數(shù)β滿(mǎn)足條件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*、常數(shù)），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P（x、y）的軌跡為C₁．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P（x、y）的軌跡為C₂．且兩條曲線(xiàn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求軌跡C₁與C₂的方程；
（3）在（2）的條件下，軌跡C₂上存在點(diǎn)A，使點(diǎn)A與點(diǎn)B（x，0）（x＞0）的最小距離不小于，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)，利用韋達(dá)定理直接求出m的值．
（2）方法一：分n為奇數(shù)和偶數(shù)，化出a的范圍，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，求出a值，推出雙曲線(xiàn)方程即可．
方法二：由題意分a的奇偶數(shù)，聯(lián)立方程組，求出復(fù)數(shù)β，解出a，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求出雙曲線(xiàn)方程．
（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出|AB|表達(dá)式，根據(jù)x范圍，x的對(duì)稱(chēng)軸討論，時(shí)，|AB|的最小值，不小于，求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解答：解：（1）β是方程的一個(gè)虛根，則是方程的另一個(gè)虛根，（2分）
則，所以m=4（2分）
（2）方法1：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，|α+3|-|α-3|=2a，常數(shù)），
軌跡C₁為雙曲線(xiàn)，其方程為；（2分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|α+3|+|α-3|=4a，常數(shù)），
軌跡C₂為橢圓，其方程為；（2分）
依題意得方程組
解得a²=3，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183030343187533/SYS201310241830303431875021_DA/11.png">，所以，
此時(shí)軌跡為C₁與C₂的方程分別是：，．（2分）
方法2：依題意得（2分）
軌跡為C₁與C₂都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，
代入上式得，（2分）
即對(duì)應(yīng)的軌跡C₁是雙曲線(xiàn)，方程為；
對(duì)應(yīng)的軌跡C₂是橢圓，方程為．（2分）
（3）由（2）知，軌跡C₂：，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），
則
=，
（2分）
當(dāng)即時(shí)，
當(dāng)即時(shí)，，（2分）
綜上或．（2分），
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，軌跡方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．