Question

若X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①X屬于τ，∅屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ．則稱τ是集合X上的一個拓撲．已知集合X={a，b，c}，對于下面給出的四個集合τ：
①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ={∅，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓撲的集合τ的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據集合X上的拓撲的集合τ的定義，逐個驗證即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；
②④滿足：①X屬于τ，∅屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ，因此②④是，從而得到答案．
解答：解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓撲的集合τ；
②τ={∅，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，滿足：①X屬于τ，∅屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ
因此②是集合X上的拓撲的集合τ；
③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓撲的集合τ；
④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
滿足：①X屬于τ，∅屬于τ；②τ中任意多個元素的并集屬于τ；③τ中任意多個元素的交集屬于τ
因此④是集合X上的拓撲的集合τ；
故答案為②④．
點評：此題是基礎題．這是考查學生理解能力和對知識掌握的靈活程度的問題，重在理解題意．本題是開放型的問題，要認真分析條件，探求結論，對分析問題解決問題的能力要求較高．