Question

（2013•寶山區二模）已知點A（1，0），P₁、P₂、P₃是平面直角坐標系上的三點，且|AP₁|、|AP₂|、|AP₃|成等差數列，公差為d，d≠0．
（1）若P₁坐標為（1，-1），d=2，點P₃在直線3x-y-18=0上時，求點P₃的坐標；
（2）已知圓C的方程是（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0），過點A的直線交圓于P₁、P₃兩點，P₂是圓C上另外一點，求實數d的取值范圍；
（3）若P₁、P₂、P₃都在拋物線y²=4x上，點P₂的橫坐標為3，求證：線段P₁P₃的垂直平分線與x軸的交點為一定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用P₁坐標為（1，-1），d=2，求出|AP₃|，利用點P₃在直線3x-y-18=0上，解方程組即可求點P₃的坐標；
（2）求出圓C的方程是（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0），的圓心與半徑，求出點A與圓的圓心的距離，通過A在圓內與圓外，分別求實數d的取值范圍；
（3）利用P₁、P₂、P₃都在拋物線y²=4x上，拋物線的定義，求出線段P₁P₃的斜率，求出直線方程，通過y=0，推出直線與x軸的交點為一定點，即可求該定點的坐標．

解答：解（1）因為|AP₁|、|AP₂|、|AP₃|成等差數列，且|AP₁|=1，d=2，所以|AP₃|=5，
設P₃（x，y）
則

(x-1)2+y2=25 3x-y-18=0

，消去y，得x²-11x+30=0，…（2分）
解得x₁=5，x₂=6，所以P₃的坐標為（5，-3）或（6，0）
（2）由題意可知點A到圓心的距離為t=

(3-1)2+(3-0)2

=

13

…（6分）
（�。┊�0＜r≤

13

時，點A（1，0）在圓上或圓外，|2d|=||AP₃|-|AP₁||=|P₁P₃|，
又已知d≠0，0≤|P₁P₃|≤2r，所以-r≤d＜0或 0＜d≤r
（ⅱ）當r＞

13

時，點A（1，0）在圓內，所以|2d|max=||

13

+r|-|r-

13

||=2

13

，
又已知d≠0，0＜|2d|≤2

13

，即-

13

≤d＜0或0＜d≤

13

結論：當0＜r＜

13

時，-r≤d＜0或 0＜d≤r；當r≥

13

時，-

13

≤d＜0或0＜d≤

13

（3）因為拋物線方程為y²=4x，所以A（1，0）是它的焦點坐標，
點P₂的橫坐標為3，即|AP₂|=4
設P₁（x₁，y₁），P₃（x₃，y₃），則|AP₁|=x₁+1，|AP₃|=x₃+1，|AP₁|+|AP₃|=2|AP₂|，
所以x₁+x₃=2x₂=6
直線P₁P₃的斜率k=

y3-y1

x3-x1

=

4

y3+y1

，則線段P₁P₃的垂直平分線l的斜率kl=-

y3+y1

4

則線段P₁P₃的垂直平分線l的方程為y-

y3+y1

2

=-

y3+y1

4

(x-3)
直線l與x軸的交點為定點（5，0）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，直線與圓的位置關系的綜合應用，直線系方程的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用與計算能力的考查．