Question

已知函數f（x）=

3

sinωx+cosωx-1（ω＞0）相鄰兩個最大值間的距離為π，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在區間[-π，0]上的所有零點之和．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（ωx+

π

6

）-1，相鄰兩個最大值間的距離為

T

2

知其最小正周期T=π，于是可得ω的值；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，令f（x）=0得sin（2x+

π

6

）=

1

2

，可求得x=kπ或x=kπ+

π

3

（k∈Z），x∈[-π，0]，從而可求得f（x）在區間[-π，0]上的所有零點之和．

解答： 解：（1）由題意得函數f(x)=2(sinωx•

3

2

+cosωx•

1

2

)=2sin(ωx+

π

6

)-1，（輔助角公式）
又相鄰兩個最大值間的距離為

T

2

知其最小正周期T=π，（圖象的特征）
所以

2π

ω

=π，ω=2．（最小正周期公式）…（5分）
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，
令f（x）=0得sin(2x+

π

6

)=

1

2

，（零點轉化為方程）
所以2x+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x+

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z．（由三角函數值得角度）
解得x=kπ或或x=kπ+

π

3

（k∈Z）…（9分）
因為x∈[-π，0]，所以零點有x1=-π，x2=-

2π

3

，x3=0．（據范圍得具體角度）
所以f（x）在區間[-π，0]上的所有零點之和為-

5π

3

…（12分）

點評：本題考查三角恒等變換應用，考查正弦函數的圖象與性質，考查等價轉化思想與方程思想的綜合應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．