Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，， ，為線段的中點，為線段上一動點（異于點），為線段上一動點，且.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）要證平面平面，轉證平面即證

（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標系，求出平面的法向量，代入公式可得結果.

（I）證明：因為，為線段的中點，

所以，

在直三棱柱中，易知平面，

，而；

平面，；

又因為，；

所以平面，

又平面；所以平面平面；

（II）由（I）可建立如圖空間直角坐標系，

因為所以，

則，

，

設，

所以，

因為，，

所以，

，

解得：（異于點） ,

設平面 的法向量為 ，則

即 ，可取 ，

設直線與平面所成角為 ，

則 ,

直線與平面所成角的正弦值為.