Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-x+c（a，b，c∈R且a≠0），
（1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；
（2）若存在實數x₁，x₂（x₁≠x₂）滿足f（x₁）=f（x₂），是否存在實數a，b，c使f（x）在

x1+x2

2

處的切線斜率為0，若存在，求出一組實數a，b，c否則說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，得（2，+∞）上存在區間使f'（x）＞0；然后根據f'（x）=3ax²+2x-1為二次函數，則對a進行分類討論；特別是a＜0時，有f'（x）=3ax²+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或兩解兩種情況；最后列出相應的不等式或不等式組解之即可．
（2）首先由f（x₁）=f（x₂）代入f（x）整理可得a（x₁²+x₁x₂+x₂²）+b（x₁+x₂）-1=0；再化簡可得f′（

x1+x2

2

）=
-

a

4

（x₁-x₂）²≠0；最后判斷出不存在這樣的實數a，b，c滿足條件．

解答：解：（1）當b=1時f'（x）=3ax²+2x-1，f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，即f'（x）在（2，+∞）上存在區間使f'（x）＞0．
①a＞0時，f'（x）=3ax²+2x-1是開口向上的拋物線．
顯然f'（x）在（2，+∞）上存在區間，使f'（x）＞0即a＞0適合．
②a＜0時，f'（x）=3ax²+2x-1是開口向下的拋物線．
要使f'（x）在（2，+∞）上存在區間有f'（x）＞0，則f'（x）=3ax²+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或兩解．
即f'（2）＞0或

△＞0 f′(2)≤0 - 1 3a ＞2

?a＞-

1

4

或無解，
又a＜0∴a∈(-

1

4

，0)
綜合得a∈(-

1

4

，0)∪(0，+∞)
（2）不存在實數a，b，c滿足條件．
事實上，由f（x₁）=f（x₂）得：a（x₁³-x₂³）+b（x₁²-x₂²）-（x₁-x₂）=0
∵x₁≠x₂∴a（x₁²+x₁x₂+x₂²）+b（x₁+x₂）-1=0
又f'（x）=3ax²+2bx-1
∴f′(

x1+x2

2

)=3a(

x1+x2

2

)2+2b•

x1+x2

2

-1
=3a•

x 2 1 + x 2 2 +2x1x2

4

+1-a(

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

)-1=-

a

4

(x1-x2)2
∵a≠0且x1-x2≠0∴f′(

x1+x2

2

)≠0
故不存在實數a，b，c滿足條件．

點評：本題考查了函數單調性與其導數的關系，及導數的幾何意義等基本知識；同時考查了學生分類討論的思想方法與代數運算能力．