Question

（2009湖南卷文）（本小題滿分12分）

   如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點D是BC的中點，點E在AC上，且DEE.

（Ⅰ）證明：平面平面;    

（Ⅱ）求直線AD和平面所成角的正弦值。

Answer 1

解析:（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱的性質知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE 平面，

故平面⊥平面.

 

（Ⅱ）解法 1:  過點A作AF垂直于點,

連接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

所以AF平面,故是直線AD和

平面所成的角。    因為DE，

所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，

于是AD=，AE=4-CE=4-=3.

又因為，所以E= = 4,            

 ,  .

即直線AD和平面所成角的正弦值為     .

解法2 : 如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，

則相關各點的坐標分別是A(2,0,0,),  (2,0,), D(-1, ,0),  E(-1,0,0).

易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.

設是平面的一個法向量，則

解得.

故可取.于是   

 

=     .            

由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為     .