Question

已知橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點是，又點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程;

（2）已知直線的斜率為，若直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）根據橢圓的焦點可設橢圓的方程，然后將代入可求解得，從而可確定橢圓的方程；（2）設直線的方程及，聯立直線與橢圓的方程，消去得到，先由確定的取值范圍，然后根據二次方程根與系數的關系得到，從而由公式計算出，再由點到直線的距離公式計算出點到的距離為，最后得到，利用基本不等式可得面積的最大值.

試題解析：（1）由已知橢圓的焦點為，故設橢圓方程為 2分

將點代入方程得，整理得 4分

解得或（舍），故所求橢圓方程為 6分

（2）設直線的方程為，設 7分

代入橢圓方程并化簡得 9分

由，可得①

由 11分

故

又點到的距離為 13分

故

當且僅當，即時取等號（滿足①式）

所以面積的最大值為 15分.

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與圓錐曲線的綜合問題；3.基本不等式.