Question

設{a_n}是公比大于1的等比數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．已知S₃＝7，且a₁＋3,3a₂，a₃＋4構成等差數列．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)令b_n＝ln a_3n＋1，n＝1,2，…，求數列{b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

（1）a_n＝2^n－1（2）ln 2

(1)依題意，得 
解得a₂＝2.
設等比數列{a_n}的公比為q，由a₂＝2，可得a₁＝，a₃＝2q.
又S₃＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q²－5q＋2＝0，
解得q＝2或.
由題意，得q>1，∴q＝2，∴a₁＝1.
故數列{a_n}的通項是a_n＝2^n－1.
(2)由于b_n＝ln a_3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a_3n＋1＝2³ⁿ，
∴b_n＝ln 2³ⁿ＝3n ln 2，
又b_n＋1－b_n＝3ln 2，
∴數列{b_n}是等差數列．
∴T_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝＝ln 2.
故T_n＝ln 2.