Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列四個命題：
①P在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②P在直線BC₁上運動時，直線AP⊥A₁D不變；
③P在直線BC₁上運動時，直線AP⊥DB₁不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，則M點的軌跡是過D₁點的直線
其中真命題的編號是

①②④

（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，底不變，所以體積不變；
②由給出的圖形是正方體，易證A₁D⊥平面ABC₁D₁，而AP?面ABC₁D₁，∴P在直線BC₁上運動時，直線AP⊥A₁D不變；
③正方體中，體對角線DB₁⊥面ACD₁，則DB₁不會垂直于面ABC₁D₁，P在直線BC₁上運動時，AP與DB₁不垂直；
④M在平面A₁B₁C₁D₁內，且到點D和C₁距離相等，則點M的軌跡是DC₁的垂直平分線與面A₁B₁C₁D₁的交點，所以為線段A₁D₁所在直線．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離相等，所以體積不變，①正確；
②∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，∴A₁D⊥AD₁，又A₁D⊥AB，AD₁∩AB=A，∴A₁D⊥平面ABC₁D₁，P在直線BC₁上運動時，始終有AP?平面ABC₁D₁，∴P在直線BC₁上運動時，直線AP⊥A₁D不變，②正確；
③∵體對角線DB₁⊥面ACD₁，則DB₁不會垂直于面ABC₁D₁，P在直線BC₁上運動時，AP與DB₁不垂直，③不正確；
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到點D和C₁距離相等的點，∴M點的軌跡是DC₁的垂直平分線繞DC₁的中點旋轉時與面A₁B₁C₁D₁的交點，得到的軌跡是線段A₁D₁所在直線，所以④正確．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查三棱錐體積的轉化，線面垂直，以及點的軌跡問題，考查全面，靈活，是中檔題．