Question

已知等比數列滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）在與之間插入個數連同與按原順序組成一個公差為（）的等差數列．

①設，求數列的前和；

②在數列中是否存在三項（其中成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

  （1）；（2）①②不存在.

【解析】

試題分析：（1）要看清問題的實質就是，那么這就是我們熟悉的問題，利用，轉化為和公比的式子，可解出，再由題目條件得出關于首項的關系式，求出等比數列的首項即可求出通項公式；（2）①由新數列的的首首項和末項及項數可求出公差，根據其表達式的結構特征，再考慮求，本題可用錯位相減法；②此類問題，一般先假設存在符合條件的數列，解出來則存在，如果得到矛盾的結果，則假設錯誤，這樣的數列則不存在.

試題解析：（1）設數列的公比為，由已知可得，                 1分

由已知，，所以，

兩式相減得，，解得，                        3分

又，解得，                                     5分

故                                                       6分

（2）由（1），知    7分

①，         8分

，

     10分

故                                                  11分

②假設在數列中存在三項（其中成等差數列）成等比數列，

則，即．                          13分

因為成等差數列，所以，（*）代入上式得： ，（**）

由（*），（**），得，這與題設矛盾．                               15分

所以，在數列中不存在三項（其中成等差數列）成等比數列．  16分

考點：等差數列與等比數列、錯位相減法.