Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于M，拋物線C的焦點為F，且.

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）設點Q是拋物線C上的動點，點D，E在y軸上，圓內切于三角形，求三角形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）8

【解析】

（Ⅰ）根據拋物線的定義得到點的坐標，將其代入拋物線方程即可得到結果；

（Ⅱ）設，，且，利用直線與圓相切可得，同理可得，所以，是方程的兩根.利用根與系數的關系求出，再根據三角形面積公式與基本不等式可得答案.

（Ⅰ）因為直線與拋物線交于M，且.

根據拋物線的定義可知，，所以，所以，

所以，因為，所以解得，

∴拋物線方程為.

（Ⅱ）設，，且，

∴直線的方程為，即，

由直線與圓相切，

得，注意到，

化簡得，

同理得

所以，是方程的兩根，

所以，，

所以，

∴（當且僅當時等號成立）

因此三角形的面積的最小值為8.