Question

已知圓C1：x2+y2=10與圓C2：x2+y2+2x+2y-14=0．
（1）求證：圓C₁與圓C₂相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）求經過兩圓交點，且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）利用兩圓圓心距與半徑的和、差比較，即可得到結論；
（2）將兩圓方程相減，可得兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）設出過兩圓交點的圓系方程，確定圓心坐標，利用圓心在直線x+y-6=0上，即可求得圓的方程．

解答：（1）證明：圓C2：x2+y2+2x+2y-14=0化為標準方程為（x+1）²+（y+1）²=16
∴C₂（-1，1），r=4
∵圓C1：x2+y2=10的圓心坐標為（0，0），半徑為R=

10

∴|C₁C₂|=

2

∵4-

10

＜

2

＜4+

10

∴兩圓相交；
（2）解：將兩圓方程相減，可得2x+2y-4=0，即兩圓公共弦所在直線的方程為x+y-2=0；
（3）解：設所求圓的方程為x²+y²+2x+2y-14+λ（x²+y²-10）=0（λ≠-1）
即（1+λ）x²+（1+λ）y²+2x+2y-14-10λ=0
∴圓心坐標為（-

1

1+λ

，-

1

1+λ

）
代入直線x+y-6=0可得：-

1

1+λ

-

1

1+λ

-6=0，∴λ=-

4

3

∴所求圓的方程為x²+y²-6x-6y+2=0．

點評：本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關系，考查圓系方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．