Question

設

e

₁和

e

₂是兩個單位向量，夾角是60°，試求向量

a

=2

e

₁+

e

₂和

b

=-3

e

₁+2

e

₂的夾角．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，由

e

₁和

e

₂是兩個單位向量，夾角是60°，我們易得

e

₁²⁼

e

₂²=1，

e

₁•

e

₂=

1

2

，進而我們可以求出|

a

|、|

b

|、

a

•

b

，然后代入cosθ=

a • b

| a |•| b |

，即可求出答案．

解答：解：∵

e

₁和

e

₂是兩個單位向量，夾角是60°
∴

e

₁²⁼

e

₂²=1，

e

₁•

e

₂=

1

2

又∵

a

=2

e

₁+

e

₂，
∴|

a

|²=

a

²=（2

e

₁+

e

₂）²=4

e

₁²+4

e

₁•

e

₂+

e

₂²=7，
∴|

a

|=

7

．
同理得|

b

|=

7

．
又

a

•

b

═（2

e

₁+

e

₂）•（-3

e

₁+2

e

₂，）=-6

e

₁²+

e

₁•

e

₂+2

e

₂²=-

7

2

，
∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-

1

2

，
∴θ=120°．

點評：cosθ=

a • b

| a |•| b |

這是由向量的數量積表示夾角一唯一公式，也是利用向量求角的唯一公式，希望大家牢固掌握，熟練應用．