Question

有一位同學寫了一個不等式：≥(x∈R).

(1)她發現當c=1、2、3時不等式都成立，試問：不等式是否對任何的正數c都成立？為什么？

(2)對已知的正數c，這位同學還發現，把不等式右邊的“”改成某些值，如-c、0等，不等式總是成立的，試求出所有這樣的值的集合M.

Answer 1

分析：解決這類不等式的常用方法就是變量代換，令=t，則t≥.然后再利用基本不等式或函數的單調性來解決，這樣就引起分類討論.

解：(1)令=t≥,令f(x)=-

=.                                                         ①

    若不等式成立，即①式≥0，則需tc-1≥0x²≥-c.          ②

    而當c=時，②式對于x∈R不能成立，所以原不等式對任何正數c不是都成立.

(2)當0＜c≤1時，f(t)=t+≥2,當t=1，

    即x=時取等號.

    所以［f(x)］_min=2,故M={m|m≤2}.

    當c＞1時，t≥,t-1＞0.

    由①知，f(x)-≥0，

    當t=，即x=0時，取等號，所以［f(x)］_min=，故M=(-∞,).

    綜上所述，當0＜c≤1時，M=(-∞,2]；當c＞1時，M=(-∞,).