Question

【題目】已知偶函數滿足，現給出下列命題：①函數是以2為周期的周期函數；②函數是以4為周期的周期函數；③函數為奇函數；④函數為偶函數，則其中真命題的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由偶函數的定義和條件，將x換為x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期為4，即可判斷①②的正確性；再由奇函數、偶函數的定義，將x換為﹣x，化簡變形即可判斷③④的正確性．

解：偶函數f（x）滿足f（x）+f（2﹣x）＝0，

即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），

即為f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），

可得f（x）的最小正周期為4，故①錯誤；②正確；

由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），

又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）為奇函數，故③正確；

由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）為偶函數，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），

可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6為f（x）的周期，這與4為最小正周期矛盾，故④錯誤．

故選：B．