Question

已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[2，4]上的最大值為9，最小值為1，記f（x）=g（|x|）．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）定義在[p，q]上的函數φ（x），設p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n-1=q，x₁，x₂，…，x_n-1將區間[p，q]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數M＞0，使得和式

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M恒成立，則稱函數φ（x）為在[p，q]上的有界變差函數．試判斷函數在[0，4]上f（x）是否為有界變差函數？若是，求M的最小值；若不是，請說明理由． （

n

i=1

f(xi)表示f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n））

Answer 1

分析：（I）由已知中g（x）在區間[2，4]的最大值為9，最小值為1，結合函數的單調性及最值，我們易構造出關于a，b的方程組，解得a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）參數a，b的值，代入可得函數解析式，根據二次函數的圖象和性質，可將問題轉化為距離Y軸距離遠的問題，進而構造關于k的方程求出k值．
（Ⅲ）根據有界變差函數的定義，我們先將區間[0，4]進行劃分，分成[0，1]，[1，4]兩個區間進行分別判斷，進而判斷

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M是否恒成立，從而求出結論．

解答：解：（Ⅰ）∵函數g（x）=ax²-2ax+1+b，a＞0，
∴對稱軸為x=1，開口向上，則g（x）在區間[2，4]上是增函數，
又∵函數g（x）故在區間[2，4]上的最大值為9，最小值為1，
∴

g(2)=1 g(4)=9

，即

1+b=1 8a+1+b=9

解得

a=1 b=0

；
（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x²-2|x|+1為偶函數，
畫出函數圖象，結合函數圖象可知不等式f（log₂k）＞f（2）可化為|log₂k|＞2，
解得k＞4或0＜k＜

1

4

；
（Ⅲ）函數f（x）為[0，4]上的有界變差函數．
∵函數f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，4]上的單調遞增函數，
且對任意劃分T：0=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=1，
有1=f（0）=f（x_l）＞f（x₁）＞…＞f（x_i）＞…＞f（x_n）=f（1）=0
∴

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x₀）-f（x_n）=f（0）-f（1）=1恒成立，①
且對任意劃分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i＜…＜x_n=4，
有0=f（1）=f（x_l）＜f（x₁）＜…＜f（x_i）＜…＜f（x_n）=f（4）=9，
∴

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x₀）=f（4）-f（1）=9恒成立，②
∴由①②可得

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|=10≤M，
∴存在常數M，使得

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M恒成立，M的最小值為10．

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，二次函數在閉區間上的最值，新定義，其中（1）的關鍵是分析出函數的單調性，（2）要用轉化思想將其轉化為絕對值比較大小（3）的關鍵是真正理解新定義的含義．屬于難題．