Question

已知函數(是常數)在處的切線方程為，且.
（1）求常數的值；
（2）若函數()在區間內不是單調函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1），，（2）

試題分析：（1）在處的切線切線斜率為，由導數的幾何意義可知，將代入切線方程可得即又因為，解以上三個方程組成的方程組可得的值。（2）由（1）可知函數的解析式，從而可得函數解析式。將其求導可得，令，可將問題轉化為函數在內有極值，即應有2個根（判別式應大于0），但在內至少有一個根（故應分兩種情況討論）。因為，所以在內有一個根時應有，在內有兩個根時應因為，則且頂點縱坐標小于0
（1）由題設知，的定義域為,,
因為在處的切線方程為，
所以,且，即,且,
又 ，解得，， 
（2）由（Ⅰ）知
因此， 
所以 
令.
（ⅰ）當函數在內有一個極值時，在內有且僅有一個根，即在內有且僅有一個根，又因為，當，即時，在內有且僅有一個根，當時，應有，即，解得，所以有.
（ⅱ）當函數在內有兩個極值時，在內有兩個根，即二次函數在內有兩個不等根，
所以，解得.   
綜上，實數的取值范圍是