Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），下頂點為A（0，-b），直線AF與橢圓的右準線交于點B，若F恰好為線段AB的中點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若直線AB與圓x²+y²=2相切，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）由B在右準線x=

a2

c

上，且F（c，0）恰好為線段AB的中點可求得2c=

a2

c

，從而可求得其斜率；
（2）由（1）可知a=

2

c，b=c，從而可設AB的方程為y=x-c，利用圓心O（0，0）點到直線y=x-c間的距離等于半徑2即可求得c，從而使問題得到解決．

解答：解 （1）因為B在右準線x=

a2

c

上，且F（c，0）恰好為線段AB的中點，
所以2c=

a2

c

，…（2分）
即

c2

a2

=

1

2

，所以橢圓的離心率e=

2

2

．         …（4分）
（2）由（1）知a=

2

c，b=c，所以直線AB的方程為y=x-c，即x-y-c=0，…（6分）
因為直線AB與圓x²+y²=2相切，所以

|c|

2

=

2

，…（8分）
解得c=2．所以a=2

2

，b=2．
所以橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．           …（10分）

點評：本題考查橢圓的簡單性質與橢圓的標準方程，考查化歸思想與方程思想，求得橢圓的離心率是關鍵，屬于中檔題．