Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b²+c²-a²=bc．向量

m

=(

3

sin

x

2

，1)  ，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

，當(dāng)f（B）取最大值

3

2

時(shí)，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知的等式代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

m

•

n

，并利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，確定出函數(shù)f（x）的解析式，由A的度數(shù)，得到B的取值范圍，進(jìn)而確定出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到此時(shí)正弦函數(shù)的最大值，進(jìn)而確定出函數(shù)的最大值，以及正弦函數(shù)取得最大值時(shí)B的度數(shù)，由A和B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)，可得到三內(nèi)角相等，可判斷出三角形為等邊三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，…（3分）
∵0＜A＜π，…（4分）
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）∵

m

=(

3

sin

x

2

，1)  ，

n

=(cos

x

2

，cos2

x

2

)，
∴函數(shù)f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

 …（7分）
=sin（x+

π

6

）+

1

2

，…9分
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，…（10分）
∴當(dāng)B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時(shí)，f（B）有最大值是

3

2

，…（12分）
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，
則△ABC為等邊三角形．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等邊三角形的判定，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．