Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f（x）=1+2^x．
（1）求其在R上的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象，并根據圖象寫出函數的單調區間、值域；
（3）解不等式f（x）＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）當x＞0，-x＜0，代入已知式子可得x＞0時的解析式，再由奇函數的性質可得f（0）=0，綜合可得解析式；
（2）由函數的解析式和圖象的變換可得圖象，進而可得單調區間和值域；（3）作出函數y=

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2

的圖象，數形結合可得不等式

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2

的解集．

解答：解：（1）∵x＞0，∴-x＜0，
∴f（-x）=1+2-^x，
又f（x）為奇函數，∴-f（x）=f（-x）=1+2-^x，
化簡可得f（x）=-（1+2-^x）
把x=0代入-f（x）=f（-x），可得f（0）=0
∴f（x）=

1+2x，x＜0 0    x=0 -(1+2-x)，x＞0

（2）由函數的解析式和圖象的變換可得圖象如下：

可知函數在（-∞，0）和（0，+∞）上單調遞增，
值域為（1，2）∪（-2，-1）∪{0}
（3）再作出函數y=

3

2

的圖象，
數形結合可得不等式f（x）＜

3

2

的解集為（-∞，-1）∪[0，+∞）

點評：本題考查函數圖象的作法，涉及函數解析式的求解和不等式的解集，屬中檔題．