Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx+d（a，b，c，d∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1，x=2處取得極值，求b，c的值；
（2）若函數f（x）在區間（-∞，x₁），（x₂，+∞）上為增函數，在（x₁，x₂）上為減函數，且x₂-x₁＞1，求證：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的條件下，當t＜x₁時，試比較t²+bt+c與x₁的大小．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數，故x=1和x=2是導函數的零點從而得到答案．
（2）根據導函數大于0時原函數單調增，導函數小于0時原函數單調遞減代入可得答案．
（3）根據x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0兩根，所以可得x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），然后整理放縮可得答案．

解答：解：（1）f'（x）=x²+（b-1）x+c，由題意知1、2是方程x²+（b-1）x+c=0兩根，
∴

-(b-1)=1+2 c=1×2

，
∴b=-2，c=2；
（2）由題意知，當x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）時，f'（x）＞0；
當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，
∴x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0兩根，x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c，
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1-（x+x）²]-2[1-（x₁+x₂）]-4x₁x₂=（x+x）²-1，
∵x₁-x₂＞1，∴（x+x）²-1＞0，
∴b²＞2（b+2c）．
（3）在（2）下，由上題知x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），即x²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t+1-x₂）．
∵x₂＞1+x₁＞1+t，
∴1+t-x₂＜0．
∵0＜t＜x₁，∴t-x₁＜0，
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＜0，
∴t²+bt+c＞x₁．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數在某點取得極值的條件、函數的單調性與導數的關系等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于中檔題．