Question

已知點及圓：.（Ⅰ）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；（Ⅱ）設過點P的直線與圓交于、兩點，當時，求以線段為直徑的圓的方程；（Ⅲ）設直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) , (Ⅱ) （Ⅲ）不存在

解析:

：（Ⅰ）設直線的斜率為（存在）則方程為.

又圓C的圓心為，半徑，由  ，  解得.

所以直線方程為，  即 .

當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件

（Ⅱ）由于，而弦心距，

所以.所以為的中點.故以為直徑的圓的方程為 

（Ⅲ）把直線即．代入圓的方程，

消去，整理得．由于直線交圓于兩點，故，即，解得．

則實數的取值范圍是．設符合條件的實數存在，

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以的斜率，而，所以．由于，

故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．