Question

【題目】已知，為常數(shù)，且，，．

（I）若方程有唯一實(shí)數(shù)根，求函數(shù)的解析式．

（II）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．

（III）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）; （II）;; （III）.

【解析】

（I）根據(jù)方程ax2+（b-1）x=0有唯一解，以及列方程求解即可;（II）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，即可求得求得最值，（III）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可.

∵，∴，∴.

（I）方程有唯一實(shí)數(shù)根，

即方程有唯一解，

∴，解得

∴

（II）∵ ,

∴，,

若 ,

若 .

（III）解法一、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

即：在區(qū)間上恒成立，

設(shè)，

顯然函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上恒成立，

因此 .

解法二：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立,

所以時(shí)，的最小值,

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，恒成立,

而,

所以時(shí)不符合題意．

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

的最小值為,

所以，即即可,

綜上所述，.