Question

【題目】已知y=f（x）是偶函數，定義x≥0時，f（x）=
（1）求f（﹣2）；
（2）當x＜﹣3時，求f（x）的解析式；
（3）設函數y=f（x）在區間[﹣5，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知y=f（x）是偶函數，故f（﹣2）=f（2）=2（3﹣2）=2
（2）解：當x＜﹣3時，f（x）=f（﹣x）=（﹣x﹣3）（a+x）=﹣（x+3）（a+x），

所以，當x＜﹣3時，f（x）的解析式為f（x）=﹣（x+3）（a+x）

（3）解：因為f（x）是偶函數，所以它在區間[﹣5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值，

①當a≤3時，f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減，所以 ，

②當3＜a≤7時，f（x）在 與 上單調遞增，在 與 上單調遞減，

所以此時只需比較 與 的大小．

（A）當3＜a≤6時， ≥ ，所以

（B）當6＜a≤7時， ＜ ，所以g（a）=

③當a＞7時，f（x）在 與[3，5]上單調遞增，在 上單調遞減，且 ＜f（5）=2（a﹣5），所以g（a）=f（5）=2（a﹣5），

綜上所述，g（a）=

【解析】（1）已知y=f（x）是偶函數，故f（﹣2）=f（2）=2（3﹣2）=2； （2）當x＜﹣3時，f（x）=f（﹣x）=（﹣x﹣3）（a+x）=﹣（x+3）（a+x），（3）因為f（x）是偶函數，所以它在區間[﹣5，5]上的最大值即為它在區間[0，5]上的最大值，在這兩段上分別研究二次函數的區間上的最值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．