Question

已知函數f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在區間[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在實數m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。

Answer 1

(Ⅰ) f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R)  (Ⅱ)  見解析

（I）∵f(x)是二次函數，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可設f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，
∴f(x)在區間[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，
由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x²－10x(x∈R).
（II）方程f(x)＋＝0等價于方程2x³－10x²＋37＝0，
設h(x)＝2x³－10x²＋37，則h¢(x)＝6x²－20x＝2x(3x－10)，
當x∈(0，)時，h¢(x)＜0，h(x)是減函數；當x∈(，＋∞)時，h¢(x)＞0，h(x)是增函數，
∵h(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在區間(3，)、(，4)內分別有惟一實數根，而在(0，3)，(4，＋∞)內沒有實數根，所以存在惟一的自然數m＝3，使得方程f(x)＋＝0在區間(m，m＋1)內有且只有兩個不同的實數根.