（12分）已知橢圓
的離心率
，過右焦點
的直線
與橢圓
相交于
兩點，當直線的斜率為1時，坐標原點
到直線的距離為
.
（1）求橢圓的方程
（2）橢圓上是否存在點
，使得當直線繞點轉(zhuǎn)到某一位置時，有
成立？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標及對應(yīng)直線方程；若不存在，請說明理由。
（1）
（2）存在，坐標為
或
.
解析試題分析：(1)因為直線過右焦點
，斜率為1，
所以直線的方程為：
即
.
坐標原點到直線的距離為
，所以
，所以
. …2分
因為離心率為，所以
所以
，
所以橢圓C的方程為. …4分
(2)因為直線過右焦點，所以當直線斜率不存在時，直線方程為：
所以
所以
,為右端點時，
，
所以此時沒有符合要求的點.
當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：
，
由
得：
. …7分
設(shè)點
的坐標分別為
，
，
則
，因為
，
，
所以
，
所以
，
所以點的坐標為
，且符合橢圓方程，
所以
，解得
所以點的坐標為或. …12分
考點：本小題主要考查了橢圓標準方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量的坐標運算，考查學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.
點評：設(shè)直線方程時要注意斜率存在與不存在兩種情況，求解直線與橢圓位置關(guān)系問題時，通常要聯(lián)立方程組，運算量比較大，應(yīng)該仔細計算，并且要注意通性通法的應(yīng)用，加強解題的規(guī)范性.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的焦點F1（－
，0）和F2（，0），長軸長6。
(1)求橢圓C的標準方程。
(2)設(shè)直線
交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
（本題滿分14分）
設(shè)直線
與拋物線
交于不同兩點A、B，F(xiàn)為拋物線的焦點。
（1）求
的重心G的軌跡方程；
（2）如果
的外接圓的方程。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分14分）（文科）已知曲線
的離心率
，直線
過
、
兩點，原點
到的距離是
.
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點
作直線
交雙曲線于
兩點，若
，求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
（本小題12分）已知
，且點A
和點B
都在橢圓
內(nèi)部，
（1）請列出有序數(shù)組
的所有可能結(jié)果；
（2）記“使得
成立的”為事件A，求事件A發(fā)生的概率。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設(shè)雙曲線C：
的左、右頂點分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點
。
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且
，求點T的坐標；
（2）求直線A1P與直線A2Q的交點M的軌跡E的方程；
（3）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設(shè)
，若
（T為（1）中的點）的取值范圍。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點為
，離心率為
.
(1)若
,求橢圓的方程; (2)設(shè)直線
與橢圓相交于
兩點,
分別為線段
的中點.若坐標原點
在以
為直徑的圓上,且
,求
的取值范圍.
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的焦點
和
，長軸長6，設(shè)直線
交橢圓
，
兩點，求線段
的中點坐標.
有共同漸近線，并且經(jīng)過點 （－3，
）的雙曲線方程.