Question

已知函數f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+

1

2

（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數的最大值、最小值及取得最大值和最小值時自變量x的集合；
（3）求函數的單調區間，并指出在每一個區間上函數的單調性．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換應用將f（x）轉化為f（x）=sin（2x-

π

6

）+1，即可求函數f（x）的最小正周期；
（2）利用正弦函數的性質可求函數的最大值、最小值及取得最大值和最小值時自變量x的集合；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可求其單調遞增區間，由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）可求f（x）的單調遞減區間．

解答：解：（1）∵f（x）=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）當2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
即x∈{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}時，f（x）_max=2；
當2x-

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
即x∈{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}時，f（x）_min=0；
（3）當2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），時，f（x）單調遞增．
當2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）時，f（x）單調遞減．
故f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查正弦函數的最值及單調性，考查分析與運算能力，屬于中檔題．