Question

如圖是在豎直平面內的一個“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有一條的為第一層，有二條的為第二層， ，依次類推．現有一顆小彈子從第一層的通道里向下運動，若在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個通道．記小彈子落入第層第個豎直通道（從左至右）的概率為，某研究性學習小組經探究發現小彈子落入第層的第個通道的次數服從二項分布，請你解決下列問題.

（Ⅰ）試求及的值，并猜想的表達式；（不必證明）
（Ⅱ）設小彈子落入第6層第個豎直通道得到分數為，其中，試求的分布列及數學期望．

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）以實際問題為背景，小彈子落入第層的第個通道的次數服從二項分布；
（Ⅱ）仔細分析，確定隨機變量的取值，利用的獨立重復事件的概率求出相應的概率，列出的分布列，利用求的公式求解.
試題解析：（Ⅰ）因為小彈子落入第層的第個通道的次數服從二項分布，則：，
                                        3分
 ，
                                     6分
（Ⅱ）依題：． 由（Ⅰ）知，

          9分
所以的分布列如下表：

	1	2	3

故 .                        12分
考點：二項分布，離散型隨機變量的分布列，離散型隨機變量的期望.