Question

已知a，b，x，y均為正數，且a≠b．
（Ⅰ）求證：（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）≥（a+b）²，并指出“=”成立的條件；
（Ⅱ）求函數f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

（0＜x＜

1

3

）的最小值，并指出取最小值時x的值．

Answer 1

分析：（I）先將（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）=a²+

ya2

x

+

xb2

y

+b²=a²+b²+（

ya2

x

+

xb2

y

），利用基本不等式a²+b²≥2ab，即可證得結論；
（II）利用（I）的結論，將函數f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

變形為f（x）═（

9

3x2

+

9

1-3x2

）（3x²+1-3x²）
即可解決問題．

解答：解：（Ⅰ）∵（

a2

x

+

b2

y

）（x+y）=a²+

ya2

x

+

xb2

y

+b²=a²+b²+（

ya2

x

+

xb2

y

）
≥a²+b²+2

ya2 x • xb2 y

=a²+b²+ab=（a+b）²，當且僅當ay=bx時取等號．

（II）∵f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

=

9

3x2

+

9

1-3x2

=（

9

3x2

+

9

1-3x2

）（3x²+1-3x²）
由（I）知，上式≥（3+3）²=36，當且僅當3x²=1-3x²即x²=

1

6

時等號成立，
∴函數f（x）=

3

x2

+

9

1-3x2

（0＜x＜

1

3

）的最小值36，取最小值時x的值為

6

6

．

點評：本題考查不等式的應用，另外給你一種解題工具，讓你應用它來解答某一問題，這是近年考試命題的一種新穎的題型之一，很值得讀者深刻反思和領悟當中的思維本質．