Question

在△ABC中，B(10，0)，直線BC與圓Γ：x²＋(y－5)²＝25相切，切點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)．若△ABC的重心恰好為圓Γ的圓心，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為       ．

Answer 1

(0，15) 或 (－8，－1)

解析試題分析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁ ）、C（x₂，y₂），則由題意可得ΓD⊥BC，且D點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)镈為切點(diǎn)，所以圓心Γ（0，5）到直線AB的距離ΓD=r=5．設(shè)BC的方程為即．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有，解得或．當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，有 ，解得再由三角形的重心公式可以求得，或，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，15）或（-8，-1）．
考點(diǎn)：本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的重心公式等.
點(diǎn)評：直線與圓相切，圓心到直線的距離等于圓半徑，這個(gè)性質(zhì)經(jīng)常用到；另外，此類題目一般運(yùn)算量較大，要仔細(xì)運(yùn)算，不要漏解.