Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，△SAD是正三角形，P，Q分別是棱SC，AB的中點，且平面SAD⊥平面ABCD．
（1）求證：PQ∥平面SAD；
（2）求證：SQ⊥AC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取SD中點F，連結AF，PF．

∵P，F分別是棱SC，SD的中點，∴FP∥CD，且 ，

∵在正方形ABCD中，Q是AB的中點，

∴AQ∥CD，且 ，即FP∥AQ且FP=AQ，

∴AQPF為平行四邊形，則PQ∥AF，

∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ∥平面SAD

（2）證明：連結BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

取AD中點E，連SE，EQ，

∵Q為AB中點，∴EQ∥BD，∴AC⊥EQ．

∵SA=SD，∴SE⊥AD，

∵平面SAD⊥平面ABCD，且交線為AD，∴SE⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD，∴AC⊥SE，

∵SE∩EQ=E，SE，EQ平面SEQ，∴AC⊥平面SEQ，

∵SQ平面SEQ，∴SQ⊥AC

【解析】（1）取SD中點F，連結AF，PF．證明PQ∥AF．利用直線與平面平行的判定定理證明PQ∥平面SAD．（2）連結BD，證明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．證明EQ⊥AC，然后證明AC⊥平面SEQ，即可證明結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的性質(垂直于同一個平面的兩條直線平行)的相關知識才是答題的關鍵．