Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）若∠PAD=45°，求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）證明：取PD中點E，證明 EN和 AM平行且相等，AMNE為平行四邊形，可得MN∥AE．再利用直線和平面平行的判定定理證得MN∥平面PAD．
（2）先證明△PAD為等腰直角三角形，又E是PD中點可得MN⊥PD；再證明MN⊥CD，利用直線和平面垂直的判定定理證得MN⊥平面PCD．

解答：解：（1）證明：取PD中點E，連結AE，EN，則有EN 平行且等于

1

2

CD，AM平行且等于

1

2

CD，
故有 EN和 AM平行且相等，∴AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE．
又AE?平面PAD，而 MN不在平面PAD內，所以MN∥平面PAD．-------（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，∴△PAD為等腰直角三角形．
又E是PD中點，∴AE⊥PD，又AE∥MN，∴MN⊥PD．
又ABCD為矩形，∴AB⊥AD．
又AB⊥PA，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，AB⊥AE，又AB∥CD，AE∥MN，∴MN⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴MN⊥平面PCD．…（12分）

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，直線和平面垂直的判定定理的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．