Question

（2012•江蘇）設集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*．記f（n）為同時滿足下列條件的集合A的個數：
①A⊆P_n；②若x∈A，則2x∉A；③若x∈?PnA，則2x∉?PnA．
（1）求f（4）；
（2）求f（n）的解析式（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得P₄={1，2，3，，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）
（2）任取偶數x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數，再除以2…，經過k次后，商必為奇數，此時記商為m，可知，若m∈A，則x∈A，?k為偶數；若m∉A，則x∈A?k為奇數，可求

解答：解（1）當n=4時，P₄={1，2，3，，4}，符合條件的集合A為：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}
故f（4）=4
（2）任取偶數x∈p_n，將x除以2，若商仍為偶數，再除以2…，經過k次后，商必為奇數，此時記商為m，
于是x=m•2^k，其中m為奇數，k∈N^*
由條件可知，若m∈A，則x∈A，?k為偶數
           若m∉A，則x∈A?k為奇數
于是x是否屬于A由m是否屬于A確定，設Q_n是P_n中所有的奇數的集合
因此f（n）等于Q_n的子集個數，當n為偶數時（或奇數時），P_n中奇數的個數是

1

2

n（或

1+n

2

）
∴f(n)=

2 n 2 ，n為偶數 2 n+1 2 ，n為奇數

點評：本題主要考查了集合之間包含關系的應用，解題的關鍵是準確應用題目中的定義