Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；

（Ⅱ）對任意給定的正實數(shù)a，曲線y= f(x)上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）∵e=   ∴c= a      

∴b²=a²-c²= a²

故所求橢圓為：………………………………（1分）

又橢圓過點（）   ∴    ∴a² =4.   b² =1   ∴（3分）

(Ⅱ)設(shè)P（x₁,y₁）, Q（x₂,y₂）,PQ的中點為（x₀,y₀）

將直線y=kx+m與

聯(lián)立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0

   ①

又x₀=……………………（5分）

又點［-1，0）不在橢圓OE上，

依題意有

整理得3km=4k²+1   ②……………………………………………………（7分）

由①②可得k²＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞……………………（8分）

設(shè)O到直線l的距離為d，則

S_△OPQ =

=……………………………（10分）

當的面積取最大值1，此時k= 

∴直線方程為y= ……………………………………（12分）

 

【解析】略