Question

如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，E為CD的中點．

(1)求證：B₁E⊥AD₁.
(2)在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
(3)若二面角A－B₁E－A₁的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）2

(1)以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)．設AB＝a，則A(0，0,0)，D(0,1,0)，D₁(0,1,1)，
E，B₁(a,0,1)，

故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.
∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B₁E⊥AD₁.
(2)假設在棱AA₁上存在一點P(0,0，z₀)(0≤z₀≤1)，
使得DP∥平面B₁AE.此時＝(0，－1，z₀)．
又設平面B₁AE的法向量n＝(x，y，z)．
由n⊥，n⊥，得.
取x＝1，得平面B₁AE的一個法向量n＝
要使DP∥平面B₁AE，只要n⊥，有－az₀＝0，
解得z₀＝.
又DP?平面B₁AE，
∴存在點P，滿足DP∥平面B₁AE，此時AP＝.
(3)連接A₁D，B₁C，由長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁及AA₁＝AD＝1，得AD₁⊥A₁D.
∵B₁C∥A₁D，
∴AD₁⊥B₁C.
又由(1)知B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E＝B₁，
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴是平面A₁B₁E的一個法向量，此時＝(0,1,1)．
設與n所成的角為θ，則
cos θ＝＝.
∵二面角A－B₁E－A₁的大小為30°，
∴|cos θ|＝cos 30°，即＝，
解得a＝2，即AB的長為.2